[Ôn Tập Toán 12] Bài 2: Cực Trị Của Hàm Số

0
8

Ôn tập phần lý thuyết cũng như giải bài tập trong bài 2: Cực trị của Hàm Số – Toán học 12. Tinnhanh1s.com tóm tắt lại phần lý thuyết cũng như đưa ra cho các em học sinh lời giải ngắn gọn phần bài tập trong bài 2 này.

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x∈ (a ; b).

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x– h ; x+ h), x  xthì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x.

– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x– h ; x+ h), x  xthì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x.

Định lí 1

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x– h ; x+ h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K { x}.

Nếu {f′(x)>0|∀(x0−h;x0)f′(x)<0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực đại của hàm số

Nếu {f′(x)<0|∀(x0−h;x0)f′(x)>0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 2

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x– h ; x+ h) (h > 0).

– Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0  thì xlà điểm cực tiểu của hàm số f.

– Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì xlà điểm cực đại của hàm số f.

Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

– Tìm tập xác định.

– Tính f'(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f'(x)=0.

– Tính f”(x) và f”(xi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.

(Chú ý: nếu f”(xi)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi).

Bài tập & Lời giải

Bài 1

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

a) y=2×3+3×2−36x−10 ;

b) y=x4+2×2−3 ;

c) y=x+1x

d) y=x3(1−x)2;

e) y=x2−x+1

Giải:

a) Tập xác định: D=R

y′=6×2+6x−36;y′=0⇔[x=2(y=−54)x=−3(y=71)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực trị tại x=−3 và  y =71

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và yCT =−54

b) Tập xác định: D=R

y′=4×3+4x=4x(x2+1);

y′=0⇔x=0(y=−3)

Bảng biến thiên:

Hàm số có điểm cực tiểu tại x=0 và yCT =−3

c) Tập xác định: D=R\ { 0 }

y′=1−1×2=x2−1×2;y′=0⇔x2−1=0⇔[x=1(y=2)x=−1(y=−2)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại x=−1y =−2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1yCT  =2

d) Tập xác định D=R

y′=3×2(1−x)2−2×3(1−x)

=x2(1−x)(3−5x)

y′=0⇔[x=1(y=0)x=35(y=1083125)x=0

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x=35;y=1083125

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1yCT =0

e) Vì  x2 –x+1>0,∀∈R nên tập xác định : D=R

y′=2x−12×2−x+1;y=0⇔x=12(y=32)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực tiểu tại x=12;yCT=32.

Bài 2

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y=x4−2×2+1 ;       b)y=sin2x–x;

c)y=sinx+cosx;         d)y=x5−x3−2x+1.

Giải:

a) y′=4×3−4x=4x(x2−1) ;

y′=0 ⇔4x(x2−1)=0⇔x=0,x=±1.

y″=12×2−4.

y″(0)=−4<0 nên hàm số đạt cực đại tại x=0,

ycđ =y(0)=1.

y″(±1)=8>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=±1,

yct y(±1) = 0.

b) y′=2cos2x−1 ;
y′=0⇔cos2x=12⇔2x=±π3+k2π

⇔x=±π6+kπ.

y″=−4sin2x .

y″(π6+kπ)=−4sin(π3+k2π)=−23<0 nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x=π6+kπ,

ycđ =sin(π3+k2π)−π6−kπ = 32−π6−kπ , k∈Z.

y″(−π6+kπ)=−4sin(−π3+k2π)=23>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=−π6+kπ,

yct sin(−π3+k2π)+π6−kπ =−32+π6−kπ , k∈Z.

c) y=sinx+cosx2sin(x+π4);

y′=2cos(x+π4) ;

y′=0⇔cos(x+π4)=0⇔x+π4=π2+kπ⇔x=π4+kπ.

y″=−2sin(x+π4).

y″(π4+kπ)=−2sin(π4+kπ+π4)

=−2sin(π2+kπ)

={−2 nếu k chẵn2 nếu k lẻ

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=π4+k2π,

đạt cực tiểu tại các điểm x=π4+(2k+1)π(k∈Z).

d) y′=5×4−3×2−2=(x2−1)(5×2+2)y′=0⇔x2−1=0⇔x=±1.

y″=20×3−6x.

y″(1)=14>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1,

yct =y(1)=−1.

y″(−1)=−14<0 hàm số đạt cực đại tại x=−1,

ycđ y(−1)=3.

Bài 3

Chứng minh rằng hàm số y=|x| không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Giải:

Đặt y=f(x)=|x|. Giả sử x>0, ta có :

limx→0+xx=limx→0+1x=+∞.

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x=0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 vì f(x)=|x|≥0=f(0),∀x∈R.

Bài 4

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số

y=x3−mx2−2x+1

luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

Giải:

y=3×2−2mx−2,Δ′=m2+6>0 nên y′=0 có hai nghiệm phân biệt và y′ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 5

Tìm a và b để các cực trị của hàm số

y=53a2x3+2ax2−9x+b

đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại.

Giải:

– Xét a=0 hàm số trở thành y=−9x+b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.

– Xét a≠0. Ta có : y=5a2x2+4ax−9y′=0⇔x=−1a hoặc x=−95a

– Với a<0 ta có bảng biến thiên :

Theo giả thiết x0=−59 là điểm cực đại nên 1a=−59⇔a=95. Theo yêu cầu bài toán thì

y(CT)=y(−95a)=y(1)>0

⇔53⋅(−95)2+2⋅(−95)−9+b>0⇔b>365.

– Với a>0 ta có bảng biến thiên :

Vì x0=−59  là điểm cực đại nên −95a=−59⇔a=8125. Theo yêu cầu bài toán thì: y(ct)=y(1a)=y(2581)>0

⇔53⋅(8125)2(2581)3+2.8125⋅(2581)2−9⋅2581+b>0

⇔b>400243.

Vậy các giá trị a,b cần tìm là:

{a=−95b>365 hoặc {a=8125b>400243.

Bài 6

Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=x2+mx+1x+m đạt cực đại tại x=2.

Giải:

Tập xác định : D=R∖{−m};

y′=2×2+2mx+m2−1(x+m)2.

Nếu hàm số đạt cực đại tại x=2 thì y′(2)=0 ⇔m2+4m+3=0⇔m=−1 hoặc m=−3

– Với m=−1,  ta có : y=x2−x+1x−1;

y′=x2−2x(x−1)2;y′=0⇔{x2−2x=0x≠1

⇔x=0 hoặc x=2.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x=2.

– Với m=−3, ta có: y=x23x+1x−3;

y′=x2−6x+8(x−3)2;y′=0⇔{x2−6x+8=0x≠3

⇔x=2 hoặc x=4

Ta có bảng biến thiên :

 

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=2.

Vậy m=−3 là giá trị cần tìm.

Trên đây chúng tôi đã tổng hợp toàn bộ kiến thức của bài 2: Cực trị của Hàm Số cho các em học sinh nắm chắc kiến thức và gọi ý hướng giải bài tập cho các em nắm rõ hơn.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here