[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Nguyên hàm: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

0
6

 [Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Nguyên hàm: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

 

Phần 1: Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoản của R ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x), ∀x ∈ K.

2. Các định lí

– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , C là hằng số.

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

– Mọi hàm số f(x) lien tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. ∫0dx=C, ∫dx= ∫1dx=x+C ;

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

4. Với k là hằng số khác 0

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm

– Phương pháp biến đổi số

Định lí. Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C .

Hệ quả. Nếu u = ax+b, a≠0 thì ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

– Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Định lí. Nếu hai hàm số u = u(x) và và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx hay ∫udv=vu-∫vdu

Phần 2: Bài tập trắc nghiệm

 

Bài tập trắc nghiệm phần 1

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x2 là một số nguyên hàm của x3 trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Câu 2: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

x2 + (1/2).cos⁡2x     B. x2 + cos2 x     C. x2 – sin2x     D. x2 + cos⁡2x .

Câu 3: Tìm nguyên hàm của

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 4:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-C 2-D 3-C 4-B

Câu 1:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x2 là đạo hàm của x3.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Câu 2:

Ta có

∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Câu 3:

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án B.

Ghi chú. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm phần 2

Đề bài trắc nghiệm

Câu 5:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 6: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 7: Tìm I=∫(3x2 – x + 1)exdx

A. I = (3x2 – 7x +8)ex + C     B. I = (3x2 – 7x)ex + C

C. I = (3x2 – 7x +8) + ex + C    D. I = (3x2 – 7x + 3)ex + C

Câu 8:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 9: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s    B. 11m/s    C. 12m/s    D. 13m/s.

Hướng dẫn giải và Đáp án

5-D 6-D 7-A 8-C 9-D

Câu 5:

Đặt u = ex + 1 => u’ = ex. Ta có

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 6:

Cách 1.

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u’dx = -∫udu

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án D.

Câu 7:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x2 – x + 1 và dv = exdx ta có du = (6x – 1)dx và v = ex . Do đó:

∫(3x2 – x + 1)exdx = (3x2 – x + 1)ex – ∫(6x – 1)exdx

Đặt u1 = 6x – 1; dv1 = exdx Ta có: du1 = 6dx và v1 = ex .

Do đó ∫(6x – 1)exdx = (6x – 1)ex – 6∫exdx = (6x – 1)ex – 6ex + C

Từ đó suy ra

∫(3x2 – x + 1)exdx = (3x2 – x + 1)ex – (6x – 7)ex + C = (3x2 – 7x + 8)ex + C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 8:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Vậy chọn đáp án C.

Câu 9:

Vận tốc của vật bằng

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

với t= 0 ta có C = v(0) = 6 khi đó v(10)≈ 13.

Vậy chọn đáp án D.

 

Bài tập trắc nghiệm phần 3

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    B. I = – sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C   D. I = 4sin(4x + 3) + C

Câu 2: Tìm I = ∫x.e3xdx

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 3: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 4:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 22x.3x.7x .

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 6: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

A. 2(2√x – 1) + C     B. 2√x + C     C. 2√x + 1    D. 2(2√x + 1) + C .

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

1-C 2-B 3-C 4-B 5-A 6-B

Câu 1:

Đặt u = 4x+3 => y’ = 4 và cos(4x+3)dx được viết thành

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 2:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 3:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 4:

Ta biến đổi để thu được:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Đặt: t = sinx, ta được:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Thay: t = sinx, suy ra

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 5:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Bài tập trắc nghiệm phần 4

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

A. cot2x + C     B. -2cot2x + C    C. 2cot2x + C     D. -cot2x + C .

Câu 9: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cosx)2 là:

A. 2tanx – cotx – x + C     B. 4tanx + cotx – x + C

C. 4tanx – cotx + x + C     D. 4tanx – cotx – x + C

Câu 11: Biết rằng: f'(x) = ax + b/x2, f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0

Giá trị biểu thức ab bằng :

A.0    B.1    C.-1     D. 1/2 .

Câu 12: Cho các hàm số:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

với x > 3/2. Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:

A. a = 4; b = 2; c= 1     B. a = 4; b = -2; c = -1

C. a = 4; b = -2; c = 1     D. a = 4; b = 2; c = -1 .

Câu 13: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334     B. 263334    C.264254     D.254334.

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

7-A 8-B 9-B 10-D 11-C 12-C 13-A

Câu 7:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 8:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 9:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Phương án A là một nguyên hàm của f(x) vì

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Phương án C là nguyên hàm của f (x) vì:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Phương án D là nguyên hàm của f(x) vì:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 10:

∫(2tanx + cotx)2dx = ∫[4(tan2x + 1) + (cot2 + 1) – 1]dx

= 4tanx = cotx – x + C

Câu 11:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 12:

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Câu 13:

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Giải tích 12

Với t = 0 ta có: C = N(0) = 250000, khi đó N(10) ≈ 254334

 

Xem thêm các bài viết về Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng TẠI ĐÂY

 

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here