[Bài tập trắc nghiệm Hình học 12] Mặt cầu: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

0
23

[Bài tập trắc nghiệm Hình học 12] Mặt cầu: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

 

Phần 1: Lý thuyết

1. Mặt cầu và các khái niệm liên quan đến mặt cầu

 

1. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là một mặt cầu tâm O bán kính r và thường được kí hiệu là S(O;r)

Cho mặt cầu tâm O bán kính r và điểm M bất kì trong không gian. Khi đó:

– Nếu MO = r thì ta nói điểm M nằm trên mặt cầu S(O;r) hoặc điểm M thuộc mặt cầu S(O;r) hoặc mặt cầu S(O;r) đi qua điểm M.

– Nếu OM < r thì ta nói điểm M nằm trong mặt cầu S(O;r).

– Nếu OM > r thì ta nói điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r).

2. Mặt cầu là một mặt tròn xoay được tạo nên bởi một nửa đường tròn quay xung quanh trục là đường kính của nửa đường tròn đó. Giao tuyến của mặt cầu với các nửa mặt phẳng có bờ là trục của mặt cầu được gọi là các đường kinh tuyến của mặt cầu. Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông góc với trục gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.

3. Khối cầu tâm O bán kính r là phần không gian được giới hạn bởi mặt cầu S(O;r) và cả phần mặt cầu S(O;r).

 

2. Giao của mặt cầu và mặt phẳng

 

Cho mặt cầu S(O;r) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (P). Đặt h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Ta có cấc trường hợp sau:

– Nếu h > r thì mặt phẳng (P) và mặt cầu không có điểm chung. Ta nói mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu.

– Nếu h = r thì mặt phẳng (P) và mặt cầu chỉ có một điểm chúng duy nhất là H. Ta nói mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm H (được gọi là tiếp điểm). Khi đó ta cũng có OH ⊥ (P) và (P) được gọi là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.

– Nếu h < r thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn (C) tâm H, có bán kính r’ với

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đặc biệt khi h = 0, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một đường tròn lớn có bán kính r’ = r.

 

3. Giao của mặt cầu với đường thẳng, tiếp tuyến của mặt cầu

 

Cho mặt cầu S(O;r) và đường thẳng Δ. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O lên Δ. Đặt h = OH là khoảng cách từ O đến Δ. Khi đó ta có các trường hợp sau:

– Nếu h > r thì đường thẳng Δ không có điểm chung với mặt cầu hay ta nói đường thẳng Δ không cắt mặt cầu.

– Nếu h = r thì đường thẳng Δ chỉ có một điểm chung duy nhất với mặt cầu là điểm H (được gọi là tiếp điểm). Khi đó ta nói đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại tiếp điểm H. Đường thẳng Δ được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu. Ta cũng có OH ⊥ Δ.

– Nếu h < r thì đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B. Khi đó H là trung điểm của AB và

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Chú ý:

– Qua một điểm A bất kì trên mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến của mặt cầu đó. Tất cả các tiếp tuyến đó đều vuông góc với bán kính OA của mặt cầu và đều nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại A. Mặt phẳng tiếp xúc này vuong góc với đường thẳng OA tại A.

– Qua một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;r) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu đó. Khi đó độ dài các đoạn kẻ từ M đến các tiếp điểm đều bằng nhau. Tất cả các tiếp tuyến này tạo nên một mặt nón tròn xoay có đỉnh là M và có đường tròn đáy nằm trên mặt cầu.

 

4. Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

 

– Gọi S là diện tích mặt cầu bán kính r, ta có công thức: S = 4πr2

– Gọi V là thể tích khối cầu bán kính r, ta có công thức:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Bài tập và Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

 

5. Mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp hình đa diện

 

1. Ta nói mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình đa diện.

2. Ta nói mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu đó.

3. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn.

4. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi nó là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn. Khi đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của hai đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy của lăng trụ.

 

Phần 2: Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm phần 1

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 1: Cho mặt cầu tâm O bán kính R và điểm A bất kì trong không gian. Điểm A không nằm ngoài mặt cầu khi và chỉ khi:

A. OA = R   B. OA ≤ R   C. OA < R   D. OA > R

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuôg cân đỉnh B và BC = a, SA ⊥ (ABC), SA = 2a. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Điểm S nằm trong mặt cầu tâm A bán kính a

B. Điểm S nằm ngoài mặt cầu tâm A bán kính 2a

C. Điểm C nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a

D. Cả ba điểm S, B, C cùng nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 2a.

Câu 3: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có nhiều hơn một điểm chung với mặt cầu (S) nếu :

A. h ≤ R   B. h ≥ R   C. h > R   D. h < R

Câu 4: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một đường thẳng d. Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến đường thẳng d. Đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) nếu và chỉ nếu:

A. h ≤ R   B. h = R   C. h > R   D. h < R

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) theo a là:

A. 2a   B. a    C. a√2/2   D. 2a√5/5

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a. SA vuông góc với đáy, góc giữa cạnh bên SB và đáy là 45o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với SC theo a là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA = AB = 2AD = 2a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. Bán kính mặt cầu tâm B cắt SC theo một dây có độ dài 2a là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 9: Cho hai quả cầu cùng bán kính là 5cm. Để đựng hai quả cầu Nam phải làm một hình hộp chữ nhật từ bìa carton. Hỏi trong các đáp án dưới đây, Nam cần ít nhất bao nhiêu xen-ti-mét vuông bìa carton để làm được chiếc hộp đó?

A. 300(cm2)   B. 1000(cm2)   C. 250(cm2)   D. 1250(cm2)

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

1-B 2-C 3-D 4-A 5-D 6-C 7-B 8-C 9-B

Câu 2:

Từ giả thiết ta có: SA = 2a; AB = a và AC = a√2 .

Đáp án đúng là C.

Câu 3:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng với mặt cầu ta có đáp án đúng là D.

Câu 4:

Từ vị trí tương đối của một đường thẳng và mặt cầu ta có đường thẳng d có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi đường thẳng d tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S).

Đáp án đúng là A.

Câu 5:

Ta có mặt cầu S(A;r) tiếp xúc với mặt phẳng (SBC) khi và chỉ khi r = d(A; (SBC)) .

Hạ AH ⊥ SB tại H. Do BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) , suy ra BC ⊥ AH .

Mặt khác AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC) hay d(A; (SBC)) = AH Xét tam giác vuông SAB ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là D.

Câu 6:

Ta có mặt cầu S(A;r) cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a khi và chỉ khi ta có

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Hạ AK ⊥ BD tại K, hạ AH ⊥ SK tại H. Do BD ⊥ AK và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK) , suy ra BD ⊥ AH. Mặt khác AH ⊥ SK nên ta có AH ⊥ (SBDB) hay d(A; (SBD)) = AH. Xét tam giác vuông SAK và tam giác vuông ABD ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Khi đó ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là C.

Câu 7:

Ta có mặt cầu S(A ;r) tiếp xúc với đường thẳng SC khi và chỉ khi ta có r = d(A; SC).

Xét tam giác vuông ABC ta có AC = a√2 . Hạ AH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SAC ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Chọn B.

Câu 8:

Do (SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD) ta có SA ⊥ (ABCD). Theo định lí ba đường vuông góc ta có BC ⊥ SB .

Hạ BH ⊥ SC tại H. Xét tam giác vuông SBC ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Ta có mặt cầu S(B;r) cắt đường thẳng SC theo một dây cung có độ dài 2a khi và chỉ khi ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là C.

Câu 9:

Hình hộp chữ nhật đựng được hai quả cầu bán kính 5cm thì độ dài các cạnh ít nhất là 10cm, 10cm, 20cm. Khi đó ta có: Stp = 2 x 102 + 4 x 10 x 20 = 1000(cm2) .

Đáp án đúng là B.

 

Bài tập trắc nghiệm phần 2

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp có đáy là một tứ giác nội tiếp được đường tròn.

B. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là hình chóp tam giác

C. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có các cạnh bên bằng nhau.

D. Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp nếu có cạnh bên vuông góc với đáy.

Câu 11: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hình lăng trụ có mặtc ầu ngoại tiếp nếu đáy của nó là hình vuông

B. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng

C. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó có đáy là đa giác nội tiếp được đường tròn

D. Hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp nếu nó là lăng trụ đứng tam giác.

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 14: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa SA và đáy là 45o , cạnh đáy BC = a. Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 15: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a√2 và góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) là 60o . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, ΔSAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 17: Cho đường thẳng a và điểm A cách đường thẳng a một khoảng bằng 4cm. Trong các mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng a, mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất thì diện tích đó bằng :

A. 4π(cm2)   B. 16π/3(cm2)   C. 16π(cm2)   D. 64π(cm2)

Hướng dẫn giải và Đáp án

10-D 11-D 12-C 13-C 14-D 15-B 16-B 17-C

Câu 10:

Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi hình chóp đó có đáy là một đa giác nội tiếp được đường tròn nên mệnh đề A và B đúng. Hình chps có các cạnh bên bằng nhau có hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy nên hình chóp đó có đáy nội tiếp được đường tròn và do đó đáp án C đúng.

Đáp án cần chọn là D.

Câu 12:

Tam giác ABC vuông tại B nên ta có . Theo định lí ba đường vuông góc ta có tam giác SBC, SDC lần lượt vuông tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC. Từ các tam giác SAC, SBC, SDC vuông ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là C.

Câu 13:

Ta nhận thấy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương chính là tâm của hình lập phương đó. Do đó I chính là trung điểm của AC’ và mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là C.

Câu 14:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của BC và SA. Do S.ABC là hình chóp đều nên ta có SO ⊥ (ABC) , suy ra SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong tam giác SAO, trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC và bán kính mặt cầu là r = SI. Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Mặt khác ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là D.

Chú ý:

Trong ví dụ này ta có ΔOAS vuông cân ở O (do ∠SAO = 45o ) nên OS=OA. Mặt khác OA=OB=OC nên ta có I = O .

Câu 15:

Gọi H là trung điểm của BC. Khi đó ta có BC ⊥ AH, BC ⊥ AA’ , do đó BC ⊥ (A’AH) . Ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Xét tam giác vuông ABC ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Gọi H’ là trung điểm của B’C’, khi đó HH’ là trục của hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Vậy trung điểm I của HH’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là B.

Câu 16:

Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH ⊥ AB. Ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và G là tâm của tam giác đều SAB.

Xét tam giác đều SAB ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Dựng hình bình hành OHGI thì OHGI là hình chữ nhật. Hơn nữa ta có OI là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và GI là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Vậy điểm I cách đều các đỉnh của hình chóp và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Đáp án đúng là B.

Câu 17:

Gọi S(I ;r) là mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với a.

Ta có diện tích của mặt cầu là : S = 4πr3 nên S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi r đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi tiếp điểm của đường thẳng a và mặt cầu là H và hình chiếu vuông góc hạ từ A lên đường thẳng A là A’. Khi đó ta có :

2r = IA + IH ≥ AH ≥ AA’ => r ≥ AA’/2 = 2(cm)

Vậy r đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2cm khi I là trung điểm của AA’.

Khi đó mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất là S = 4π22 = 16π(cm2).

Đáp án đúng là C.

Bài tập trắc nghiệm phần 3

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính R và một mặt phẳng (P). Kí hiệu h là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có điểm chung nếu và chỉ nếu :

A. h < R    B. h = R   C. h ≤ R    D. h ≥ R

Câu 2: Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O cách Δ một khoảng bằng 20cm. Mặt cầu (S) tâm O cắt đường thẳng Δ theo một dây có độ dài 30cm có bán kính r bằng :

A. r = 45cm   B. r = 30cm    C. r = 25cm    D. r = 20cm

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA tạo với đáy một góc bằng 30o và SA=2a. Trong các điểm S, B, C điểm nào nằm trong mặt cầu tâm A bán kính 3a.

A. Không điểm nào   C. Chỉ hai điểm B và C

B. Chỉ điểm S   D. Cả ba điểm

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a, SAB là tam giác đều. Bán kính mặt cầu tâm A cắt SB theo một dây có độ dài a là:

A. a√13/2   B. 2a   C. 2a√2   D. a√3

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy và AB=a. Góc giữa cạnh bên SD và đáy bằng 45o . Bán kính mặt cầu tâm S tiếp xúc với BD theo a là:

A. a√6/2   B. a√6/4   C. a√3   D. a

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

1-C 2-C 3-B 4-A 5-A

Câu 1:

Từ vị trí tương đối của một mặt phẳng và mặt cầu ta có mặt phẳng (P) có điểm chung với mặt cầu (S) khi và chỉ khi mặt phẳng (P) tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu (S)

Câu 2:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 3:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Ta có:

góc SAO = 30o => AO = a√3 => AB = AC = 3a

Câu 4:

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt đường thẳng SB theo một dây có độ dài a, khi đó ta có:

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Gọi H là trung điểm của SB. Do tam giác SAB đều nên AH ⊥ SB hay AH là khoảng cách từ A đến SB. Xét tam giác đều SAB ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 5:

Gọi S(S;r) là mặt cầu tâm S tiếp xúc với đường thẳng BD, khi đó ta có r = d(S; BD).

Từ giả thiết ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

=> SA = AD = AB = a.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó ta có SO ⊥ BD hay SO là khoảng cách từ S đến BD. Xét tam giác vuông SAO ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

 

Bài tập trắc nghiệm phần 4

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a. SA vuông góc với đáy. Góc giữa cạnh bên SC và đáy bằng 45o . Bán kính mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBD) theo a là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có. SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Góc giữa cạnh bên SB và đáy bằng 45o . Bán kính mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2AD = 2a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 9: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = 4a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có góc giữa SA và đáy là 60o , SA = 2a. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

6-B 7-C 8-D 9-B 10-A

Câu 6:

Gọi S(A ; r) là mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (SBD), khi đó ta có r = d(A; (SBD))

Từ giả thiết ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

=> SA = AC = 2a√2

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Hạ AH ⊥ SO tại điểm H. Do BD ⊥ AC, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ AH mà AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD).

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Xét tam giác vuông SAO ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 7:

Gọi S(A;r) là mặt cầu tâm A cắt mặt phẳng (SBD) theo một đường tròn có bán kính bằng a, khi đó ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Từ giả thiết ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

=> AB = SA = 2a

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Hạ AH ⊥ SO tại điểm H. Do BD ⊥ AC, BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ AH mà AH ⊥ SO nên AH ⊥ (SBD).

Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). Xét tam giác vuông SAO ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 8:

Theo định lí ba đường vuông góc ta có hai tam giác SBC và SDC lần lượt vuông góc tại B, D. Gọi I là trung điểm của SC thì ta có : IA = IB = ID = SC/2 = IS = IC nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 9:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC và Δ là đường thẳng qua O song song với SA. Khi đó Δ là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng (SA,Δ), đường trung trực của SA cắt  tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó AOIM là hình chữ nhật. Ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 10:

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó SO ⊥ (ABCD) và SO là trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Từ giả thiết ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

=> SO = SA.sin60o = a√3

Trong mặt phẳng (SAO), đường trung trực của SA cắt SO tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

 

Bài tập trắc nghiệm phần 5

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và tam giác ABC vuông tại A. Góc giữa SB với đáy là 60o . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 12: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC = a√2 và góc giữa A’B và mặt phẳng (ABC) là 60o . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, ΔSAB là tam giác vuông cân đỉnh S và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy hình chóp. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 14: Cho hình nón có đường cao bằng đường kính đáy. Xét mặt cầu (S) nằm trong hình nón tiếp xúc với đáy và tất cả đường sinh của hình nón. Tỉ số thể tích của khối cầu và khối nón là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A và AB = SB = a , SB vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng SC và AB là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Hướng dẫn giải và Đáp án

11-A 12-B 13-B 14-A 15-C

 

Câu 11:

Hạ SH ⊥ (ABC) tại H, khi đó ta có ΔSHA = ΔSHB = ΔSHC nên HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Trong mặt phẳng (SAH), đường trung trực của SA cắt SH tại I. Khi đó I cách đều các đỉnh của hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Gọi M là trung điểm của SA, khi đó ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Khi đó thể tích khối cầu là :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 12:

Trong tam giác vuông ABC ta có

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

=> AA’ = AB.tan60o = a√3.

Gọi I là tâm của hình chữ nhật BCC’B’ và M là trung điểm của BC. Do tam giác ABC vuông tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy ABC và I cách đều B, B’ nên I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. Khi đó ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 13:

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB. Khi đó ta có :

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Xét tam giác vuông SAB có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Khi đó ta có HO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB. Vậy điểm O cách đều các đỉnh của hình chóp và O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là :

r = OA = AC/2 = a√2

Câu 14:

GọiV1, V2 lần lượt là thể tích của khối cầu và khối nón. Từ giả thiết ta có h = 2r => l = r√5.

Gọi S, O lần lượt là đỉnh và tâm của hình nón. Gọi I là tâm của mặt cầu (S), khi đó I thuộc đoạn SO. Lấy một điểm A thuộc đường tròn đáy của hình nón. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ I lên SA, gọi r’ là bán kính của mặt cầu (S). Khi đó ta có IO = IH = r’

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

Câu 15:

Mặt cầu S(I,r) tiếp xúc với AB, SC lần lượt tại T, K. Khi đó ta có:

2r = IT + IK ≥ d(AB; SC) => r ≥ d(AB, SC)/2

Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có ABDC là hình vuông cạnh a. Hạ BH vuông góc với SD tại H. Khi đó ta có BH ⊥ (SCD).

Suy ra: d(SC; AB) = d(AB, (SCD)) = d(B; (SCD))

Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 | Câu hỏi trắc nghiệm Hình học 12

 

Xem thêm các bài viết về Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu TẠI ĐÂY

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here