[Đại số và Giải tích 11] Bài tập trắc nghiệm: Phương pháp quy nạp toán học – Dãy số
Bài tập trắc nghiệm phần 1
Đề bài trắc nghiệm
Câu 1. Hãy xem trong lời giải của bài toán sau đây có bước nào bị sai?
Bài toán: chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, mệnh đề sau đây đúng:
A(n) : “nếu a và b là những số nguyên dương mà max{a,b} = n thì a = b”
Chứng minh :
Bước 1: A(1):”nếu a,b là những số nguyên dương mà max{a,b} = 1 thì a = b”
Mệnh đề A(1) đúng vì max{a,b} = 1 và a,b là những số nguyên dương thì a= b =1.
Bước 2: giả sử A(k) là mệnh đề đúng vơi k≥1
Bước 3: xét max{a,b} = k+1 ⇒max{a-1,b-1} = k+ 1-1 = k
Do a(k) là mệnh đề đúng nên a- 1= b-1 ⇒ a= b⇒ A(k+1) đúng.
Vậy A(n) đúng với mọi n ∈N*
A. Bước 1 B. Bước 2
C. Bước 3 D. Không có bước nào sai
Câu 2. Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh. Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy. Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt. Hỏi kết quả nào sau đây có thể xảy ra?
A. Mạnh thu được 122 mảnh
B. Mạnh thu được 123 mảnh
C. Mạnh thu được 120 mảnh
D. Mạnh thu được 121 mảnh
Câu 3. Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2. Khi đó u10 bằng:
A. 48 B. 60
C. 58 D. 10
Câu 4. Cho dãy số un = 1+ (n +3).3n. khi đó công thức truy hồi của dãy là:
A. un+1 = 1 +3un với n≥1
B. un+1 = 1 +3un + 3n+1 với n≥1
C. un+1 = un + 3n+1 – 2 với n≥1
D. un+1 =3un + 3n+1 – 2 với n≥1
Câu 5. Cho dãy số (un) xác định bởi :
Công thức của un+1 theo n là:
Câu 6. Cho dãy số (vn) xác định bởi :
Khi đó v11 bằng:
A. 311 B. 31024
C. 332 D. 322
Câu 7. Cho dãy số un = n2 – 4n + 7. Kết luận nào đúng?
A. Dãy (un) bị chặn trên
B. Dãy (un) bị chặn dưới
C. Dãy (un) bị chặn
D. Các mệnh đề A,B,C đều sai
Câu 8. Cho dãy số zn = 1 + (4n – 3).2n
A. Dãy zn là dãy tăng
B. Dãy zn bị chặn dưới
C. Cả A và B đề sai
D. Cả A và B đều đúng
Hướng dẫn giải và Đáp án
Câu 1:
Đáp án là C. Ta có a,b∈N* không suy ra a -1, b -1∈N* . Do vậy không áp dụng được giả thiết quy nạp cho cặp {a -1, b -1}.
Chú ý: nêu bài toán trên đúng thì ta suy ra mọi số tự nhiên đều bằng nhau. Điều này là vô lí.
Câu 2:
Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy. Do đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1. Ta chứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.
Bước cơ sở. Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7
Công thức đúng với n = 1
Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1
Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong k bước trước và cắt thành 7 mảnh. Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thay vào đó 7 mảnh được cắt ra. Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k) -1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1
Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈N* . Theo công thức trên chỉ có phương án D thoả mãn vì 121 =6.20 + 1
Đáp án D
Câu 3:
u10 = 102 – 4.20 – 2 =58
Đáp án C
Câu 4:
un+1 = 1+ (n+4).3n+1 = 1 + (n+3).3n+1 + 3n+1
= 1 + 3n.(n+3).3 + 3n+1 = 3[1 + (n+ 3).3n] + 3n+1 – 2 = 3un + 3n+1 -2
Đáp án là D
Câu 5:
u1 = 1
u2 = 1 + 12
u3 = 1 + 12 + 22
u4 = 1 + 12 + 22 + 32
…
=> Đáp án A
Câu 6:
v1=3=32o
v2=32=321
v3=34=322
v4=38=323
…
vn=32n+1⇒v11=3210=32014
Đáp án là B
Câu 7:
un = n2 – 4n + 7 = (n -2)2 + 3≥3
⇒(un) bị chặn dưới bởi 3
(un) không bị chặn trên bởi vì n càng lớn thì un càng lớn
Đáp án là B
Câu 8:
zn+1 = 1 + (4n+1).2n+1;
zn = 1 + (4n-3).2n
⇒ zn+1-zn=2n+1(4n+5) > 0 ∀n∈N*
⇒ (zn) tăng ⇔ zn ≥ z1 = 3 ∀n∈N*
Đáp án là D
Bài tập trắc nghiệm phần 2
Đề bài trắc nghiệm
Câu 1: Phép chứng minh sau đây nhận giá trị chân lí là gì?
A. Đúng
B. Sai
C. Không đúng không sai
D. Vừa đúng vừa sai
Bài toán: Chứng minh quy nạp:
Chứng minh: Giả sử đẳng thức đúng với n = k ( k≠1)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với n = k+1. Thật vậy:
Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1
Áp dụng nguyên lí quy nạp toán học ta suy ra đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.
Câu 2: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên.
Khi đó với mọi số nguyên dương n, có kết luận gì về T(n,x) = n+1/n.
A. T(n,x) là số vô tỉ
B. T(n,x) là số không nguyên
C. T(n,x) là số nguyên
D. Các kết luận trên đều sai
Câu 3:
Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un là
A. 10
B. 48
C. 16
D. 6
Câu 4: Cho dãy số
với mọi n≥1. Khi đó số hạng u3n của dãy (un) là:
Câu 5: Cho dãy
với mọi n≥1. Khi đó số hạng u2n của dãy un là:
Câu 6: Cho dãy số (un):
Công thức của số hạng tổng quát của dãy số là:
A. un = 2n2 + 1
B. un = 3n
C. un = 2n + 1
D. un =(n+5)/(n+1)
Câu 7: cho dãy số (un):
công thức của số hạng tổng quát của dãy số là
A. un =1
B. un=2n-n.2n-1
C. un=-n2+n+1
Hướng dẫn giải và Đáp án
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
B | C | B | D | C | B | B |
Câu 1: B
Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
Câu 2: C
Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên
Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, Ta có:
Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên. Khẳng định đúng với n=1
Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n≥1. Ta sẽ chứng minh T(n+1,x) cũng là số nguyên
=T(1,x).T(n,x) – T(n-1,x).
Theo giả thuyết quy nạp, Ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nên T(n+1,x) là số nguyên
Câu 3: B
Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48
Câu 4: D
Câu 5: C
Câu 6: B
Ta có 3n+1 =4.3n – 3.3n-1 → un=3n
Câu 7: B
Ta có 2n+1 – (n+1)2n= 4(2n – n.2n-1 )- 4(2n-1 – (n-1)2n-2) → un= 2n – n.2n-1
Bài tập trắc nghiệm phần 3
Đề bài trắc nghiệm
Câu 8: Cho dãy số (un) :
Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. un là dãy đơn điệu tăng
B. un là dãy đơn điệu giảm
C. un là dãy không đổi
D. đáp án khác
Câu 9: cho dãy số (un):
Khi đó khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. un là dãy đơn điệu tăng
B. un là dyax đơn điệu giảm
C. un là dyax không đổi
D. đáp án khác
Câu 10: Xét dãy (un):
khi đó số α dương lớn nhất thoả mãn un≥α ∀n≥1 là:
A. α=1 B. α=2
C. α=1/2 D. α =√2
Câu 11: Xét dãy un:
với n là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 100, số α dương nhỏ nhất thoả mãn un≤α là:
A. α=10 B. α=10√2
C. α=11 D. α=20
Câu 12: Cho các dãy số (un), (vn), (xn), (yn) lần lượt xác định bởi:
Trong các dãy số trên có bao nhiêu dãy bị chặn dưới
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
Hướng dẫn giải và Đáp án
8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
C | B | B | D | D |
Câu 8: C
∀n≥1 nên (un) là dãy số không đổi
Câu 9: B
∀n≥1 nên (un) là dãy số giảm
Câu 10: B
Câu 11: D
Ta có :
=20, ∀n≥1 → α=20
Câu 12: D
Xem thêm Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 TẠI ĐÂY