[Ôn Tập Toán 12] Bài 1 Sự Đồng Biến Và Nghịch Biến Của Hàm Số

0
17

Tổng hợp kiến thức về sự đồng biến và nghịch biến của Hàm Số, tóm tắt ngắn gọn lý thuyết cũng như đưa ra lời giải ngắn gọn súc tích và hợp lý cho từng bài.

Tóm tắt lý thuyết

Tính đơn điệu của Hàm Số

Định nghĩa

Hàm số f xác định trên K. Với mọi x1,x2 thuộc K: x1 > x2 Nếu f(x1) > f(x2) thì f tăng trên K; nếu f(x1) < f(x2) thi f giảm trên K.

Chủ ỷ:

–    Hàm số tăng hoặc giảm trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

–    K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Điểu kiện cần đế hàm số đơn điệu

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng K:

–    Nếu f tăng trên K thì f'(x)>0, với mọi  x thuộc K.

–    Nếu f giảm trên K. thì f'(x)< 0, với mọi  x thuộc K.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm sổ f có đạo hàm trên khoáng K:

–    Neu f'(x) >0.  với mọi  x thuộc K thì f tăng trên K.

–    Nếu f (x) <0. với mọi  x thuộc K thì f giảm trên K.

Chú ý: Nếu f'(x) ≥ 0. ∀x∈K (hoặc f’(x) ≤ 0, ∀x∈K) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f tăng (hoặc giảm) trên K.

Sự đồng biến và nghịch biến của Hàm Số

Tóm tắt lý thuyết

Kí hiệu K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

1. Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K ⇔ ∀x1, x∈ K, x< xthì f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K ⇔ ∀x1, x∈ K, x< xthì f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Cho hàm số f có đạo hàm trên K.

– Nếu f đồng biến trên K thì f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K.

– Nếu f nghịch biến trên K thì f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: cho hàm số f có đạo hàm trên K.

– Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc k thì f

đồng biến trên K.

– Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì f

nghịch biến trên K.

– Nếu f'(x) = 0 với mọi x ∈ K thì f là hàm hằng trên K.

4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

a) Tìm tập xác định

b) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x(i= 1 , 2 ,…, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0  hoặc không xác định.

c) Sắp xếp các điểm xtheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

d) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài tập & Lời giải

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y=4+3x−x2  ;    b) y=13×3 3×2−7x−2 ;

c) y=x4 – 2×2 +3 ;      d) y=−x3x2 – 5.

Giải:

1. a) Tập xác định : D=R;

y′=3−2x=>y′=0⇔x= 32.

Bảng biến thiên :

z

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;32); nghịch biến trên khoảng (32;+∞)

b) Tập xác định  D=R;
y′=x26x−7⇒y′=0⇔x=1,x=−7.

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;−7),(1;+∞) ; nghịch biến trên các khoảng (−7;1).

c) Tập xác định : D=R.

y′=4×34x=4x(x2−1) ⇒y′=0⇔x=−1,x=0,x=1.

          Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;0),(1;+∞) ; nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1),(0;1).

d) Tập xác định :D=R.

y′=−3×2 +2x⇒y′=0⇔x=0,x= 23.

Bảng biến thiên :

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;23) ; nghịch biến trên các khoảng (−∞;0)(23;+∞).

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a)  y=3x+11−x ;                           b) y=x2−2×1−x ;

c) y=x2−x−20 ;              d) y=2xx2−9.

Hướng dẫn giải:

a) Tập xác định : D=R∖{ 1 }.

y′=4(1−x)2> 0, ∀x≠1.

Hàm số đồng biến trên các khoảng : (−∞;1),(1;+∞).

b) Tập xác định : D=R∖{ 1 }.

y′=−x2+2x−2(1−x)2<0∀x≠1.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (−∞;1),(1;+∞).

c) Tập xác định :D=(−∞;−4]∪[5;+∞).

y′=2x−12×2−x−20 ∀x∈(−∞;−4]∪[5;+∞).

Với x∈(−∞;−4) thì y′<0; với x∈(5;+∞) thì y′>0. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−4) và đồng biến trên khoảng (5;+∞).

d) Tập xác định : D=R∖{ -3 ; 3 }.

y′=−2(x2+9)(x2−9)2<0,∀x≠±3.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng : (−∞;−3),(−3;3),(3;+∞).

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số y=1−x2(x2+1)2 đồng biến trên khoảng (−1;1) và nghịch biến trên các khoảng (−∞;−1) và (1;+∞).

Giải:

Tập xác định : D=R.

y′=1−x2(x2+1)2 ⇒y′=0⇔x=−1 hoặc x=1.

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1); nghịch biến trên các khoảng 

Bài 4. Chứng minh rằng hàm số y=2x−x2 đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên các khoảng (1;2).

Giải:

Tập xác định : D=[0;2]y′=1−x2x−x2∀x∈(0;2)y′=0⇔x=1

Bảng biến thiên :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2).

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx>x (0<x<π2);

b) tanx>x+x33(0<x<π2).

Giải:

a) Xét hàm số y=f(x)=tanx–x với x∈(0;π2).

Ta có : y′ = 1cos2x−1≥0x∈(0;π2)y′=0⇔x=0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0;π2).

Từ đó ∀x∈(0;π2) thì f(x)>f(0)

⇔tanx–x>tan0–0=0 hay tanx>x.

b) Xét hàm số y=g(x)=tanx–x – x33. với x∈(0;π2).

Ta có : y′=1cos2x−1−x2=1+tan2x−1−x2=(tan2x−x2)

(tanx−x)(tanx+x),  ∀x∈(0;π2).

Vì ∀x∈(0;π2) nên tanx+x≥0 và tanx−x>0 (theo câu a).

Do đó y′≥0,∀x∈(0;π2).

Dễ thấy y′=0⇔x=0. Vậy hàm số luôn đồng biến trên (0 ; π2). Từ đó : ∀x∈(0;π2) thì g(x)>g(0)⇔tanx–x−x33 >tan0−0−0=0 hay tanx>x+x33.

Trên đây chúng tôi đã tổng hợp tất cả lý thuyết cũng như lời giải bài tập của phần sự đồng biến nghịch biến của Hàm Số trong SGK toán 12.

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here