Ôn tập phần lý thuyết cũng như giải bài tập trong bài 2: Cực trị của Hàm Số – Toán học 12. Tinnhanh1s.com tóm tắt lại phần lý thuyết cũng như đưa ra cho các em học sinh lời giải ngắn gọn phần bài tập trong bài 2 này.
Tóm tắt lý thuyết
Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x0 ∈ (a ; b).
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x0 .
– Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0), ∀x ∈ (x0 – h ; x0 + h), x ≠ x0 thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Định lí 1
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K ∖{ x0 }.
Nếu {f′(x)>0|∀(x0−h;x0)f′(x)<0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực đại của hàm số
Nếu {f′(x)<0|∀(x0−h;x0)f′(x)>0|∀(x0;x0+h) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số
Định lí 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) (h > 0).
– Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
– Nếu f'(x0) = 0, f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số f.
Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.
– Lập bảng biến thiên.
– Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2
– Tìm tập xác định.
– Tính f'(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f'(x)=0.
– Tính f”(x) và f”(xi) suy ra tính chất cực trị của các điểm xi.
(Chú ý: nếu f”(xi)=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại xi).
Bài tập & Lời giải
Bài 1
Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :
a) y=2×3+3×2−36x−10 ;
b) y=x4+2×2−3 ;
c) y=x+1x
d) y=x3(1−x)2;
e) y=x2−x+1
Giải:
a) Tập xác định: D=R
y′=6×2+6x−36;y′=0⇔[x=2(y=−54)x=−3(y=71)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực trị tại x=−3 và yCĐ =71
Hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và yCT =−54
b) Tập xác định: D=R
y′=4×3+4x=4x(x2+1);
y′=0⇔x=0(y=−3)
Bảng biến thiên:
Hàm số có điểm cực tiểu tại x=0 và yCT =−3
c) Tập xác định: D=R\ { 0 }
y′=1−1×2=x2−1×2;y′=0⇔x2−1=0⇔[x=1(y=2)x=−1(y=−2)
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại x=−1, yCĐ =−2
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, yCT =2
d) Tập xác định D=R
y′=3×2(1−x)2−2×3(1−x)
=x2(1−x)(3−5x)
y′=0⇔[x=1(y=0)x=35(y=1083125)x=0
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại x=35;y=1083125
Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, yCT =0
e) Vì x2 –x+1>0,∀∈R nên tập xác định : D=R
y′=2x−12×2−x+1;y=0⇔x=12(y=32)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại x=12;yCT=32.
Bài 2
Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) y=x4−2×2+1 ; b)y=sin2x–x;
c)y=sinx+cosx; d)y=x5−x3−2x+1.
Giải:
a) y′=4×3−4x=4x(x2−1) ;
y′=0 ⇔4x(x2−1)=0⇔x=0,x=±1.
y″=12×2−4.
y″(0)=−4<0 nên hàm số đạt cực đại tại x=0,
ycđ =y(0)=1.
y″(±1)=8>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=±1,
yct = y(±1) = 0.
b) y′=2cos2x−1 ;
y′=0⇔cos2x=12⇔2x=±π3+k2π
⇔x=±π6+kπ.
y″=−4sin2x .
y″(π6+kπ)=−4sin(π3+k2π)=−23<0 nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x=π6+kπ,
ycđ =sin(π3+k2π)−π6−kπ = 32−π6−kπ , k∈Z.
y″(−π6+kπ)=−4sin(−π3+k2π)=23>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x=−π6+kπ,
yct = sin(−π3+k2π)+π6−kπ =−32+π6−kπ , k∈Z.
c) y=sinx+cosx= 2sin(x+π4);
y′=2cos(x+π4) ;
y′=0⇔cos(x+π4)=0⇔x+π4=π2+kπ⇔x=π4+kπ.
y″=−2sin(x+π4).
y″(π4+kπ)=−2sin(π4+kπ+π4)
=−2sin(π2+kπ)
={−2 nếu k chẵn2 nếu k lẻ
Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x=π4+k2π,
đạt cực tiểu tại các điểm x=π4+(2k+1)π(k∈Z).
d) y′=5×4−3×2−2=(x2−1)(5×2+2); y′=0⇔x2−1=0⇔x=±1.
y″=20×3−6x.
y″(1)=14>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1,
yct =y(1)=−1.
y″(−1)=−14<0 hàm số đạt cực đại tại x=−1,
ycđ = y(−1)=3.
Bài 3
Chứng minh rằng hàm số y=|x| không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.
Giải:
Đặt y=f(x)=|x|. Giả sử x>0, ta có :
limx→0+xx=limx→0+1x=+∞.
Do đó hàm số không có đạo hàm tại x=0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại x=0 vì f(x)=|x|≥0=f(0),∀x∈R.
Bài 4
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số
y=x3−mx2−2x+1
luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Giải:
y=3×2−2mx−2,Δ′=m2+6>0 nên y′=0 có hai nghiệm phân biệt và y′ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.
Bài 5
Tìm a và b để các cực trị của hàm số
y=53a2x3+2ax2−9x+b
đều là những số dương và x0=−59 là điểm cực đại.
Giải:
– Xét a=0 hàm số trở thành y=−9x+b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.
– Xét a≠0. Ta có : y=5a2x2+4ax−9; y′=0⇔x=−1a hoặc x=−95a
– Với a<0 ta có bảng biến thiên :
Theo giả thiết x0=−59 là điểm cực đại nên 1a=−59⇔a=95. Theo yêu cầu bài toán thì
y(CT)=y(−95a)=y(1)>0
⇔53⋅(−95)2+2⋅(−95)−9+b>0⇔b>365.
– Với a>0 ta có bảng biến thiên :
Vì x0=−59 là điểm cực đại nên −95a=−59⇔a=8125. Theo yêu cầu bài toán thì: y(ct)=y(1a)=y(2581)>0
⇔53⋅(8125)2(2581)3+2.8125⋅(2581)2−9⋅2581+b>0
⇔b>400243.
Vậy các giá trị a,b cần tìm là:
{a=−95b>365 hoặc {a=8125b>400243.
Bài 6
Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=x2+mx+1x+m đạt cực đại tại x=2.
Giải:
Tập xác định : D=R∖{−m};
y′=2×2+2mx+m2−1(x+m)2.
Nếu hàm số đạt cực đại tại x=2 thì y′(2)=0 ⇔m2+4m+3=0⇔m=−1 hoặc m=−3
– Với m=−1, ta có : y=x2−x+1x−1;
y′=x2−2x(x−1)2;y′=0⇔{x2−2x=0x≠1
⇔x=0 hoặc x=2.
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x=2.
– Với m=−3, ta có: y=x23x+1x−3;
y′=x2−6x+8(x−3)2;y′=0⇔{x2−6x+8=0x≠3
⇔x=2 hoặc x=4
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x=2.
Vậy m=−3 là giá trị cần tìm.
Trên đây chúng tôi đã tổng hợp toàn bộ kiến thức của bài 2: Cực trị của Hàm Số cho các em học sinh nắm chắc kiến thức và gọi ý hướng giải bài tập cho các em nắm rõ hơn.