[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Nguyên hàm: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

 [Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Nguyên hàm: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

 

Phần 1: Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoản của R ). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x), ∀x ∈ K.

2. Các định lí

– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

– Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , C là hằng số.

Họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là:

– Mọi hàm số f(x) lien tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1. ∫0dx=C, ∫dx= ∫1dx=x+C ;

4. Với k là hằng số khác 0

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm

– Phương pháp biến đổi số

Định lí. Nếu ∫f(u)du=F(u)+C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì ∫f(u(x)).u'(x)dx=F(u(x))+C .

Hệ quả. Nếu u = ax+b, a≠0 thì ta có

– Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần

Định lí. Nếu hai hàm số u = u(x) và và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx hay ∫udv=vu-∫vdu

Phần 2: Bài tập trắc nghiệm

 

Bài tập trắc nghiệm phần 1

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào nhận giá trị đúng?

A. Hàm số y = 1/x có nguyên hàm trên (-∞; +∞).

B. 3x² là một số nguyên hàm của x³ trên (-∞; +∞).

C. Hàm số y = |x| có nguyên hàm trên (-∞;+∞).

D. 1/x + C là họ nguyên hàm của ln⁡x trên (0;+∞).

Câu 2: Hàm số nào dưới đây không phải là một nguyên hàm của f(x)=2x-sin⁡2x ?

x² + (1/2).cos⁡2x     B. x² + cos² x     C. x² – sin²x     D. x² + cos⁡2x .

Câu 3: Tìm nguyên hàm của

Câu 4:

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-C

2-D

3-C

4-B

Câu 1:

Dựa vào định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên

hàm trên K. Vì y = |x| liên tục trên R nên có nguyên hàm trên R .

Phương án A sai vì y=1/x không xác định tại x=0 ∈ (-∞;+∞).

Phương án B sai vì 3x² là đạo hàm của x³.

Phương án D sai vì 1/x là đạo hàm của ln⁡x trên (0; +∞).

Vậy chọn đáp án C.

Câu 2:

Ta có

∫(2x-sin⁡2x)dx=2∫xdx-∫sin⁡2xdx

D không phải là nguyên hàm của f(x). Vậy chọn đáp án D.

Câu 3:

Với x ∈ (0; +∞) ta có

Vậy chọn đáp án C.

Câu 4:

Vậy chọn đáp án B.

Ghi chú. Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.

Bài tập trắc nghiệm phần 2

Đề bài trắc nghiệm

Câu 5:

Câu 6: Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là một nguyên hàm của f(x) = cosxsinx ?

Câu 7: Tìm I=∫(3x² – x + 1)e^xdx

A. I = (3x² – 7x +8)e^x + C     B. I = (3x² – 7x)e^x + C

C. I = (3x² – 7x +8) + e^x + C    D. I = (3x² – 7x + 3)e^x + C

Câu 8:

Câu 9: Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc

Vận tốc ban đầu của vật là 6m/s. Vận tốc của vật sau 10 giây xấp xỉ bằng

A. 10m/s    B. 11m/s    C. 12m/s    D. 13m/s.

Hướng dẫn giải và Đáp án

5-D

6-D

7-A

8-C

9-D

Câu 5:

Đặt u = e^x + 1 => u’ = e^x. Ta có

Câu 6:

Cách 1.

Cách 2. Sử dụng phương pháp biến đổi số ta có:

Đặt u = cosx thì u’ = -sinx và ∫sinxcosxdx = -∫u.u’dx = -∫udu

Vậy chọn đáp án D.

Câu 7:

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần ta có:

Đặt u = 3x² – x + 1 và dv = e^xdx ta có du = (6x – 1)dx và v = e^x . Do đó:

∫(3x² – x + 1)e^xdx = (3x² – x + 1)e^x – ∫(6x – 1)e^xdx

Đặt u₁ = 6x – 1; dv₁ = e^xdx Ta có: du₁ = 6dx và v₁ = e^x .

Do đó ∫(6x – 1)e^xdx = (6x – 1)e^x – 6∫e^xdx = (6x – 1)e^x – 6e^x + C

Từ đó suy ra

∫(3x² – x + 1)e^xdx = (3x² – x + 1)e^x – (6x – 7)e^x + C = (3x² – 7x + 8)e^x + C

Vậy chọn đáp án A.

Câu 8:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 9:

Vận tốc của vật bằng

với t= 0 ta có C = v(0) = 6 khi đó v(10)≈ 13.

Vậy chọn đáp án D.

 

Bài tập trắc nghiệm phần 3

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Tìm I = ∫cos(4x + 3)dx .

A. I = sin(4x + 2) + C    B. I = – sin(4x + 3) + C

C. I = (1/4).sin(4x + 3) + C   D. I = 4sin(4x + 3) + C

Câu 2: Tìm I = ∫x.e^3xdx

Câu 3: Tìm I = ∫sin5xcosxdx .

Câu 4:

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^2x.3^x.7^x .

Câu 6: Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của:

A. 2(2^√x – 1) + C     B. 2^√x + C     C. 2^{√x + 1}    D. 2(2^√x + 1) + C .

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

1-C

2-B

3-C

4-B

5-A

6-B

Câu 1:

Đặt u = 4x+3 => y’ = 4 và cos(4x+3)dx được viết thành

Câu 2:

Câu 3:

Câu 4:

Ta biến đổi để thu được:

Đặt: t = sinx, ta được:

Thay: t = sinx, suy ra

Câu 5:

Bài tập trắc nghiệm phần 4

Đề bài trắc nghiệm

 

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số

A. cot2x + C     B. -2cot2x + C    C. 2cot2x + C     D. -cot2x + C .

Câu 9: Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = (2 tanx + cosx)² là:

A. 2tanx – cotx – x + C     B. 4tanx + cotx – x + C

C. 4tanx – cotx + x + C     D. 4tanx – cotx – x + C

Câu 11: Biết rằng: f'(x) = ax + b/x², f(-1) = 2, f(1) = 4, f'(1) = 0

Giá trị biểu thức ab bằng :

A.0    B.1    C.-1     D. 1/2 .

Câu 12: Cho các hàm số:

với x > 3/2. Để F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì giá trị của a,b,c lần lượt là:

A. a = 4; b = 2; c= 1     B. a = 4; b = -2; c = -1

C. a = 4; b = -2; c = 1     D. a = 4; b = 2; c = -1 .

Câu 13: Một đám vi khuẩn tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng

và lúc đầu đám vi khuẩn có 250000 con. Sau 10 ngày số lượng vi khuẩn xấp xỉ bằng:

A. 264334     B. 263334    C.264254     D.254334.

 

Hướng dẫn giải và Đáp án

 

7-A

8-B

9-B

10-D

11-C

12-C

13-A

Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Phương án A là một nguyên hàm của f(x) vì

Phương án C là nguyên hàm của f (x) vì:

Phương án D là nguyên hàm của f(x) vì:

Câu 10:

∫(2tanx + cotx)²dx = ∫[4(tan²x + 1) + (cot² + 1) – 1]dx

= 4tanx = cotx – x + C

Câu 11:

Ta có:

Từ điều kiện đã cho ta có phương trình sau:

Câu 12:

Ta có:

Câu 13:

Số lượng vi khuẩn tại ngày thứ t bằng

Với t = 0 ta có: C = N(0) = 250000, khi đó N(10) ≈ 254334

 

Xem thêm các bài viết về Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng TẠI ĐÂY