[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

 

Phần 1: Lý thuyết

1. Tính đơn điệu của hàm số

– Cho K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói

+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu mọi cặp x₁,x₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x₁,x₂ thuộc K mà x₁ < x₂ thì f(x₁) nhỏ hơn f(x₂), tức là

x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂)

– Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K, K được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Câu 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

– Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó:

+ Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (a;b).

+ Nếu f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (a;b).

Ghi chú: Dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

 

Phần 2: Bài tập trắc nghiệm

 

Bài tập trắc nghiệm phần 1

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Cho đồ thị hàm số với x ∈ [- π/2 ; 3π/2] như hình vẽ.

Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = sinx với x ∈ [- π/2 ; 3π/2]

Câu 2: Cho đồ thị hàm số y = -x³ như hình vẽ. Hàm số y = -x³ nghịch biến trên khoảng:

A. (-1;0)     B. (-∞;0)

C. (0;+∞)    D. (-1;1)

Câu 3: Cho đồ thị hàm số y = -2/x như hình vẽ. Hàm số y = -2/x đồng biến trên

A. (-∞;0)   B. (-∞;0) ∪ (0;+∞)

C. R    D. (-∞;0) và (0;+∞)

Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = √x(x-1)(x+2)²

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (1;+∞).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1;+∞).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1;+∞).

Câu 5: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x³/3 – 2x² + 3x + 5 là:

A. (1;3)     B.(-∞; 1) ∪ (3; +∞)    C. (-∞; 1) và (3; +∞)     D. (1;+∞)

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-A

2-C

3-D

4-D

5-A

Câu 1:

Trên khoảng (-π/2; π/2) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

Trên khoảng (π/2 ; 3π/2) đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-π/2; π/2)

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Trên khoảng (-∞;0) đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞), Chọn đáp án C.

Câu 3:

Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên hai khoảng (-∞;0) và (0;+∞)

Chọn đáp án D.

Ghi chú. Những sai lầm có thể gặp trong quá trình làm bài:

– Không chú ý tập xác định nên chọn đáp án C.

– Không chú ý định nghĩa của hàm đồng biến nên chọn đáp án B.

Câu 4:

Bảng xét dấu :

Vậy f(x) đồng biến trên khoảng (1;+∞) và nghịch biến trên khoảng (0;1). Chọn đáp án D.

Câu 5:

Bảng xét dấu y’ :

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3). Chọn đáp án A.

Bài tập trắc nghiệm phần 2

Đề bài trắc nghiệm

Câu 6: Cho hàm số y = x⁴ – 2x² + 3 . Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∩ (0; 1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 0) ∪ (1; +∞)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) ∪ (0; 1)

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞)

Câu 7: Cho hàm số y = sin2x – 2x. Hàm số này

A. Luôn đồng biến trên R     B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; +∞)

C. Chỉ nghịch biến trên (-∞; -1)    D. Luôn nghịch biến trên R

Câu 8: Trong các hàm số sau, hàm số nào chỉ đồng biến trên khoảng (-∞; 1) ?

Câu 9: Tìm m để hàm số

luôn nghịch biến trên khoảng xác định.

A.-2 < m ≤ 2     B. m < -2 hoặc m > 2

C. -2 < m < 2     D. m ≠ ±2

Câu 10: Cho hàm số y = -x³ + 3x² + 3mx – 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

A. m < 1    B. m ≥ 1    C. m ≤ -1    D. m ≥ -1

Hướng dẫn giải và Đáp án

6-D

7-D

8-C

9-C

10-C

Câu 6:

Bảng xét dấu y’:

Từ đó ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞) , nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1) . Chọn đáp án D.

Câu 7:

Tập xác định D = R Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R

Chọn đáp án D.

Câu 8:

Hàm số y = x³/3 – 2x² + 3x – 1 có y’= x² – 4x + 3 . Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (3; +∞) .

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞) .

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; +∞) .

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞) .

Chọn đáp án C.

Câu 9:

Tập xác định

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng

khi và chỉ khi

Suy ra -2 < m < 2. Chọn đáp án C.

Câu 10:

Ta có y’ = -3x² + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) nếu y’ ≤ 0 trên khoảng (o; +∞)

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.

Xét phương trình -3x² + 6x + 3m. Ta có Δ’ = 9(1 + m)

TH1: Δ’ ≤ 0 => m ≤ -1. Hàm số nghịch biến trên R .

TH2: Δ’ > 0 => m > -1; y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 ±√(1+m) .

Hàm số nghịch biến trên (0; +∞) <=> 1 + √(1+m) ≤ 0, vô lí.

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ -1

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.

Ta có y’ = -3x² + 6x + 3m ≤ 0, ∀x > 0 <=> 3m ≤ 3x² – 6x, ∀x > 0

Từ đó suy ra 3m ≤ min(3x² – 6x) với x > 0 Do đó m ≤ -1.

Chọn đáp án C.

Bài tập trắc nghiệm phần 3

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Cho đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

Hàm số đồng biến trên:

A. (0;1)

B. (1;3)

C. (0; 1) ∪ (1; 3)

D. (0;1) và (1;3).

Câu 2: Hỏi hàm số

đồng biến trên các khoảng nào?

A. (-∞ ; +∞)     B. (-∞; -5)

C. (-5; +∞) ∪ (1; 3)    D. (0; 1) và (1; 3)

Câu 3: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = 2x³ – 9x² + 12x + 3

A.(-∞; 1) ∪ (2; +∞)    B. (-∞ 1] và [2; +∞)

C. (-∞; 1) và (2; +∞)     D. (1;2)

Câu 4: Khoảng nghịch biến của hàm số y = x⁴ – 2x² – 1 là:

A. (-∞; -1) và (0; 1)     B. (-∞; 0) và (1; +∞)

C. (-∞; -1) ∪ (0; 1)     D. (0;1)

Câu 5: Cho hàm số

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số (1) nghịch biến trên R\{1}

B. Hàm số (1) nghịch biến trên (-∞; 1) và (1; +∞)

C. Hàm số (1) nghịch biến trên (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

D. Hàm số (1) đồng biến trên (-∞; 1) và (1; +∞)

Câu 6: Tìm khoảng đồng biến của hàm số f(x)= x + cos²x

A. R\{0}    B. (-∞; +∞)    C. (-1; 1)    D. (0; π)

Hướng dẫn giải và Đáp án

1-D

2-D

3-C

4-A

5-B

6-B

Câu 1:

Trên khoảng (0; 1) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Trên khoảng (1; 3) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Đồ thị hàm số bị gián đoạn tại x = 1. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng (0; 1) và (1; 3)

Câu 2:

Hàm số xác định ∀x ≠ -5

y’ xác định ∀x ≠ -5 . Bảng xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -5) và (-5; +∞)

Câu 3:

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 1) và (2; +∞)

Câu 4:

Ta có

Bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0; 1)

Câu 5:

Hàm số

xác định ∀x ≠ 1

Ta có:

xác định ∀x ≠ 1

Bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞ 1) và (1; +∞)

Câu 6:

f'(x) = 1 – 2sinxcosx = (sinx – cosx)² ≥ 0 ∀x ∈ R

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; +∞)

Bài tập trắc nghiệm phần 4

Đề bài trắc nghiệm

Câu 7: Hàm số:

đồng biến trên khoảng nào?

A. R    B. (-∞; 0)     C. (-1; 0)    D. (0; +∞)

Câu 8: Cho hàm số y = x³ – x² + (m-1)x + m. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến trên R

A. m ≤ 2     B. m > 2     C. m ≥ 2    D. m <2

Câu 9: Cho hàm số

Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).

A. m < 2√2    B. m ≥ -2√2     C. m = 2√2     D. -2√2 ≤ m 2√2

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số

A. 1 < m < 5    B. m ≥ 5     C. m < -1 hoặc m > 5     D. m > 5

Câu 11: 11. Cho hàm số y = x³ + 3x² + mx + 1 – 2m. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

A. m =0     B. m = 1/4     C. 9/4     D. Không tồn tại

Hướng dẫn giải và Đáp án

7-A

8-C

9-C

10-D

11-D

Câu 7:

Hàm số đồng biến trên R

Câu 8:

y’ = x² – 2x + (m -1). Hàm số đồng biến trên R

<=> y’ > 0 ∀x ∈ R <=> Δ’ ≥ 0; Δ’ = -m + 2 ≥ 0 <=> m > 2

Câu 9:

Ta có y’ = -x² – mx – 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; – 1) nếu y’ = x² – mx – 2 ≤ 0 trên khoảng (-∞; -1)

Cách 1. Dùng định lí dấu của tam thức bậc hai. Ta có Δ = m² – 8

TH1: -2√2 ≤ m ≤ 2√2 => Δ ≤ 0. Hàm số nghịch biến trên R

TH2:

y’ = 0. có hai nghiệm phân biệt là

Từ TH1 và TH2, ta có m ≤ 2√2

Cách 2. Dùng phương pháp biến thiên hàm số

Ta có

Từ đó suy ra

Do đó m ≤ 2√2

Vậy giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -1) là m = 2√2

Câu 10:

Ta có

Câu 11:

y’ = 3x² + 6x + m. Hàm số đồng biến nếu y’ ≥ 0. Ta có Δ’ = 9 – 3m

TH1: m ≥ 3 => Δ’ ≤ 0 .

Hàm số đồng biến trên R. Do đó m ≥ 3 không thỏa mãn yêu cầu đề bài

TH2: m < 3 => Δ’ > 0 .

y’ có hai nghiệm phân biệt là

Từ bảng biến thiên, ta thấy không tồn tại m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Từ TH1 và TH2, không tồn tại m thỏa mãn.

 

Xem thêm bài viết về Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số TẠI ĐÂY