[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Ứng dụng hình học của tích phân: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm
Phần 1: Lý thuyết
1. Diện tích hình phẳng
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b ( hình 1) thì diện tích S cho bởi công thức
Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình 2) thì diện tích S được cho bởi công thức
2. Thể tích của một vật
Một vật thể V được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại hai điểm có hoành độn x = a , x = b (a ≤ b) . S(x) là diện tích thiết diện của V vuông góc với trục Ox tại x ∈ [a; b] . Thể tích V của vật thể V được cho bởi công thức:
(với S(x) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn )
3. Thể tích của khối tròn xoay
Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quoanh trục Ox, ta được khối tròn xoay ( hình 3). Thể tích Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức:
Nếu đổi vai trò của x cho y ta được
Phần 2: Bài tập trắc nghiệm
Bài tập trắc nghiệm phần 1
Đề bài trắc nghiệm
Câu 1: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox.
Câu 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x3 – x và đồ thị hàm số y = x – x2.
Câu 3: Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = (x -1)e2x ,trục tung và đường thẳng y = 0. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox
Câu 4: Sau chiến tranh thế giới thứ hai, tốc độ sinh ở cả nước phương Tây tăng rất nhanh. Giả sử rằng tốc độ sinh được cho bởi: b(t) = 5 + 2t, 0 ≤ t ≤ 10 , ( ở đó t số năm tính từ khi chiến tranh kết thúc, b(t) tính theo đơn vị triệu người).
a) Có bao nhiêu trẻ được sinh trong khoảng thời gian này ( tức là trong 10 năm đầu tiên sau chiến tranh)?
A. 100 triệu B. 120 triệu C. 150 triệu D. 250 triệu.
b) Tìm khoảng thời gian T sao cho số lượng trẻ được sinh ra là 14 triệu kể từ khi kết thức chiến tranh.
A. 1 năm B. 2 năm C. 3 năm D. 4 năm.
Hướng dẫn giải và Đáp án
| 1-D | 2-B | 3-A | 4 – B |
Câu 2:
Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:
x3 – x = x – x3 <=> x3 + x2 – 2x = 0
Vậy diện tích của hình phẳng tính là
Vậy chọn đáp án B.
Câu 3:
Tìm hoành độ giao điểm của hai dồ thì, ta có:
(x – 1)e2x = 0 => x = 1
Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi
Đặt: u = (x – 1)2, dv e4xdx. Ta có du = 2(x -1)dx và v = e4x/4 .
Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được
Đặt u1 = x – 1, dv1 = e4xdx , ta có du1 = dx, v1 = e4x/4 .
Vậy chọn đáp án A.
Câu 4:
a) Để tìm số trẻ mới sinh, chúng ta sẽ tính tích phân tỉ lệ sinh b(t) trên khoảng thời gian 10 năm đầu tiên sau chiến tranh
Vậy số trẻ được sinh cần tìm là 150 triệu.
Chọn đáp án C.
b) Số lượng trẻ mới sinh trong khoảng thời T bằng:
Chọn đáp án B
Bài tập trắc nghiệm phần 2
Đề bài trắc nghiệm
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – x + 3 và y = 2x + 1 là:
Câu 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là:
Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = √6 và y = 6 – x và trục tùng là:
Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 1/x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ex – e-x , trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √x – x và trục hoành.
Hướng dẫn giải và Đáp án
| 1-C | 2-C | 3-D | 4-C | 5-C | 6-B |
Câu 1:
Ta có: x2 – x + 3 = 2x + 1 <=> x2 – 3x + 2 = 0 <=> x = 2 hoặc x = 1
Câu 3:
Xét phương trình hoành độ giao điểm √ = 6 – x => x = 4. Khi đó diện tích giới hạn được tính bởi:
Câu 4:
Diện tích giới hạn được tính bởi
Câu 5:
Diện tích hình phẳng được tính bởi
Câu 6:
Xét phương trình
Khi đó diện tích hình phẳng được tính bởi
Bài tập trắc nghiệm phần 3
Đề bài trắc nghiệm
Câu 7: Gọi h(t) (cm) là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được t giây. Biết rằng
và lúc đầu bồn không có nước. Mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 6 giây xấp xỉ bằng:
A. 2,65cm B. 2,66cm C. 2,67cm D. 2,68cm.
Câu 8: Vận tốc của một vật chuyển động là
Quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian 1,5 giây xấp xỉ bằng:
A. 0,33m B. 0,34m C. 0,35m D. 0,36m.
Câu 9: Thể tích phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x = 0 và x = 3 biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và 2√(9-x2)
Câu 10: Thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x(x-4) và trục hoành là:
Câu 11: Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sinxcosx, y = 0, x = 0, x = π/2 là:
Câu 12: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = lnx, y = 0, x = 2 là:
A. π(ln22 – 2ln2 + 1) B. 2π(ln22 – 2ln2 + 1)
C. 4π(ln22 – ln2 + 1) D. 2π(ln22 – ln2 + 1)
Câu 13: Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:
A. π2 B. 2π2 C. 4π2 D. 8π2
Hướng dẫn giải và Đáp án
| 7-B | 8-B | 9-B | 10-D | 11-C | 12-B | 13-B |
Câu 7:
Mức nước trong bồn tại giây thứ t bằng
Với t = 0 ta có C = h(0) = -12/5 , khi đó h(6) ≈ 2,66 cm .
Câu 8:
Quãng đường vật di chuyển sau thời gian 1,5 giây bằng
Câu 9:
Câu 10:
Câu 11:
Câu 12:
Câu 13:
Ta có:
Vậy ta có:
Xem thêm các bài viết về Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng TẠI ĐÂY